2. La logica formale di Gottlob Frege

Hilbert risponde a Frege 29 dicembre 1899

(Continuazione) Hilbert respinge (B1) "Lei scrive: "Attribuisco il nome di assiomi a enunciati... Il fatto che gli assiomi sono veri ci assicura che essi non si contraddicano fra loro". Mi ha molto interessato leggere nella Sua lettera proprio questa frase, poiché io, da quando ho cominciato a riflettere, scrivere e tenere conferenze su questo argomento, ho sempre detto esattamente il contrario: se assiomi arbitrariamente stabiliti non sono in contraddizione, con tutte le loro conseguenze, allora essi sono veri, allora esistono gli enti definiti per mezzo di questi assiomi. Questo è per me il criterio della verità e dell'esistenza".

Hilbert chiarisce (B2): "Voler dare in tre righe una definizione del punto è a mio modo di vedere una cosa impossibile, poiché una definizione completa di esso la dà piuttosto solo l'intero complesso di assiomi. Proprio così: ogni assioma contribuisce alla definizione, e quindi ogni nuovo assioma fa variare il concetto. "Punto" è di volta in volta qualcosa di diverso, a seconda che lo consideriamo nella geometria euclidea, non euclidea, archimedea, non archimedea. Ne deriva da ciò che quando un concetto è stabilito in modo univoco non è lecito aggiungere un qualunque altro assioma".

"Nelle ricerche di fisica teorica compaiono spesso evidenti non sensi appunto per il fatto che i fisici assumono sensa risparmio nuovi assiomi nel corso della ricerca, senza assolutamente confrontarli con le ipotesi ammesse in precedenza e senza dimostrare se i nuovi assiomi non contraddicano nessuna delle conseguenze tratte da precedenti ipotesi".

"A dire il vero, secondo il mio punto di vista, nella applicazione della teoria al mondo dei fenomeni si richiede sempre una certa dose di buona volontà e un certo senso della misura, che permettono di sostituire ai punti corpi quanto più piccoli possibili, e alle rette enti quanto più possibili lunghi, per esempio i raggi luminosi. Così, nella verifica pratica delle proposizioni non si dovrà essere troppo pedanti; infatti esse sono solo proposizioni della teoria".

Frege scrive di nuovo a Hilbert 6 gennaio 1900

"Mi sembra che Lei voglia staccare del tutto la geometria dall'intuizione spaziale, trasformandola così in una scienza puramente logica al pari dell'aritmetica". Su (B1) ribadisce, ma fa concessioni: "Per ogni caso, la Sua idea di riguardare la geometria euclidea come particolare di una teoria più comprensiva è ricca di interesse anche se questa dimostrazione dovesse risultare impossibile". Ossia impossibile dimostrare l'indipendenza reciproca degli assiomi. Su (B2) si dice d'accordo. Dice di avere la stessa idea riguardo alla frase: "Secondo il mio modo di vedere, l'aggiunta di un qualsiasi assioma, dopo che il concetto è stato stabilito in modo univoco e completo, è qualcosa di assolutamente illecito e non logico". Frege si dice d'accordo in generale con Hilbert, ma non nei dettagli, e poi lo "sfida" a fornire delucidazioni. Ma Hilbert praticamente chiude la corrispondenza teorica con una lettera e un passo specifico molti mesi dopo.

Hilbert scrive a Frege 22 settembre 1900

"La mia idea è appunto questa: un concetto può essere logicamente definito solo attraverso le sue relazioni con altri concetti. Queste relazioni, formulate in enunciati determinati, le chiamo assiomi e pervengo in tal modo al risultato che gli assiomi (eventualmente con l'aggiunta delle denominazioni per i concetti) sono le definizioni dei concetti. Non ho maturato questa concezione come scorciatoia, ma al contrario vi sono stato costretto (!) dalla ricerca del rigore nella deduzione logica e nella costruzione logica di una teoria. Sono giunto al convincimento che solo in questo modo, nella matematica e nelle scienze della natura, si possano trattare con sicurezza oggetti più sottili, altrimenti non si fa altro che girare in circolo".

Insomma, la logica formale possiede una peculiarità di tipo "giuridico" perché continuamente stabilisce  regole di comportamento da seguire, essendo incapace di conoscere la realtà dei fatti. E' così che costruisce regole non solo di pura logica ma anche di scienza della natura. Insomma, priva di volontà, interesse e capacità per la conoscenza reale, la logica formale stabilisce regole fittizie, allo stesso modo della giurisprudenza, nella società umana, che non pretende studiare i processi e i fenomeni sociali, ma si limita a stabilire leggi prescrittive.

 

Frege scrive a Russell 28 luglio 1902

Lettera molto interessante per i contenuti da essa sollevati.

"Un nome di classe che non sia privo di significato denota a mio parere un oggetto. Dicendo qualcosa di una molteplicità o insieme, lo si tratta come un oggetto. Un nome di classe può comparire come soggetto di un enunciato singolare e ha quindi il carattere di nome proprio, per esempio, la classe dei numeri primi comprende una quantità infinita di oggetti".

Poi Frege distingue i seguenti casi:

"1. "Socrate e Platone sono filosofi" Abbiamo qui due pensieri. Socrate è un filosofo e Platone è un filosofo, che solo linguisticamente sono riuniti per comodità in un enunciato: Dal punto di vista logico non bisogna considerare come soggetto Socrate e Platone, del quale viene detto che sono filosofi".

2. ""Bunsen e Kirchhoff hanno gettato le basi dell'analisi spettroscopica". Qui dobbiamo considerare Bunsen e Kirchhoff come un tutto. Ugualmente va fatto su "i romani conquistarono la Gallia". I romani sono qui il popolo romano, tenuto unito da costumi, istituzioni e leggi. Un esercito è in questo senso un tutto, un sistema. Consideriamo ogni corpo fisico come un tutto, come un sistema, formato di parti."

3. Segue un lungo brano che cercheremo di ridurre senza tradirne il senso: ""La classe dei numeri primi è composta da una quantità infinita di oggetti". Qui la classe dei numeri primi è un oggetto; non è però un tutto le cui parti sono numeri primi. Non vorrei dire che questa classe è formata da numeri primi. E' un caso che si differenzia dal precedente. In primo luogo: un tutto, un sistema viene sempre tenuto insieme da relazioni, che sono essenziali. Un esercito è distrutto quando viene meno la sua coesione, anche se i singoli combattenti continuano a vivere. Al contrario, per la classe sono indifferenti le relazioni, in cui stanno reciprocamente gli oggetti ad essa appartenenti." "In secondo luogo: dal fatto che sia dato un tutto, non è ancora determinato quali delle sue parti siano da prendere in considerazione. Come parti di un reggimento posso considerare i battaglioni, le compagnie o i singoli soldati... Quando è invece data una classe, allora è determinato quali oggetti appartengono ad essa... Alla classe delle compagnie di un dato reggimento appartengono solo compagnie, ma non i singoli soldati...  Gli oggetti che appartengono a una classe possono allo stesso tempo formare un sistema. La classe degli atomi che formano la sedia sulla quale siedo, non è la sedia stessa..."

Tutto questo lungo brano (che abbiamo, persino, sforbiciato) Frege avrebbe potuto risparmiarselo se solo avesse tenuto presente che già esistevano concettualmente i plura entia di Spinoza. La realtà materiale è fatta di complessi contenuti e a loro volta contenitori, tanto è vero che i fisici, da un secolo, ritengono di dover trovare la particella ultima, che non contenga altro che se stessa, mentre ogni corpo contiene molecole, ogni molecola contiene atomi, ecc. ecc. Ma confrontare un complesso come un esercito con un complesso come i numeri primi significa non tenere presente l'importante differenza che un esercito è realmente fatto di materia, mentre i numeri primi sono fatti di pura astrazione matematica. (Continua)