1. La Logica Formale di Gottlob Frege

Epistolario filosofico di Gottlob Frege con Hilbert, Husserl e altri*

Iniziamo con una considerazione dell'autore di questo blog sull'errore della Logica formale che pretende stabilire valori di verità (ossia, la verità o la falsità) di singole asserzioni. Ma una singola asserzione, una singola frase (o persino un brano di diverse frasi) non può essere assolutamente o vera o falsa. La verità vale soltanto per complessi teorici. Spesso ci vogliono parecchi brani se non libri per giungere a caratterizzare una legge o un'idea profonda non ancora del tutto definita o sviluppata, e questo vale anche per la critica delle teorie.

Questa complessità non può essere bloccata, sezionata, divisa in serie di asserzioni separate, delle quali si possa o si debba provare singolarmente la verità o la falsità. Ciò sarebbe stucchevolmente metafisico. A parte le verità banali, come diceva Engels, del tipo: Napoleone è nato a Sant'Elena in tale ora, giorno e anno. Verità che non riguardano la logica, ma semplicemente eventi appurati, dove, comunque, un errore, ad esempio, di trascrizione dell'ora o del giorno, non hanno alcuna rilevanza per la conoscenza, riguardando soltanto la semplice erudizione.

Le verità della conoscenza, inoltre, non possono essere considerate come astratti contenuti di singole asserzioni, del tipo: il Sole è una stella, oppure, una galassia è un'insieme di stelle, perché, per concepire oggetti cosmici come le galassie, occorre avere una teoria cosmologica. Senza teoria cosmologica, il termine "galassia" può essere considerato in modi diversi sia dal punto di vista della sua attuale esistenza, sia dal punto di vista della sua origine, formazione, evoluzione e, infine, termine.

La verità logica non è un qualcosa che possa essere enunciata con una sola frase fotografica, bensì è qualcosa che deve essere espressa da una sequenza di proposizioni collegate tra loro come in una pellicola cinematografica. Questa sequenza costituisce un complesso di frasi e termini che possono dare una teoria più meno sviluppata, più o meno chiara, più o meno corredata da prove, dimostrazioni, ecc. 

Sull'Enunciato: osservazioni e premesse

L'enunciato è la forma in cui viene espresso un contenuto logico. Uno stesso contenuto può, però, essere espresso da più enunciati tra loro diversi nella forma. E' ciò che distingue un bravo scrittore da uno scrittore scadente. Naturalmente un contenuto espresso da un cattivo enunciato perde molto del suo contenuto. Potremmo anche dire che lo studioso cerca di dare ai propri contenuti una forma letteraria tanto appropriata, mediante "enunciati", da rendere gli uni inscindibili dall'altra, come, ad  esempio, quando formula una legge o un contrassegno specifico. Spesso un enunciato (o una serie di enunciati connessi) fornisce il contenuto essenziale. In definitiva, potremmo dire che l'enunciato è l'involucro formale di un contenuto sostanziale.

Vediamo che cosa sostiene Frege a questo proposito: "Io dico: concependo un pensiero, si pensa, riconoscendo un pensiero come vero, si giudica; comunicando un giudizio, si afferma. Sono due cose diverse, esprimere solo un giudizio e al tempo stesso affermarlo". Queste sembrano soltanto pure tautologie. Chi scrive ha già avuto modo di riflettere sull'argomento: il pensiero o il contenuto di un pensiero non è niente prima che sia espresso in una forma o enunciato. Un pensiero può anche essere vuoto di contenuto, ma un contenuto privo di enunciato è solo un'idea inespressa, ma può essere anche un'intuizione magari indefinita o indefinibile. L'enunciato la definisce, la esprime, la manifesta, ma può darsi che lo faccia anche in modo molto confuso; il che significa che il contenuto stesso è ancora mal definito. Un contenuto senza forma adeguata non è nulla di serio, così come il suo opposto: una forma bella senza contenuto.

Se io dico: considero per evoluzione qualcosa che trapassa da uno stato a un altro, qualcosa che non sta fermo e non sorge bello e fatto come Minerva dalla testa di Giove, esprimo vagamente l'idea di evoluzione. Ma il contenuto è però, come l'enunciato, ancora allo stato grezzo, è come uno schizzo, nulla di più.

Un logico formale come Frege come opera? Prima distingue "pensieri e giudizi, espressioni di pensiero e affermazioni". Poi applica il suo "pensiero" a banalità come qui di seguito: "Dicendo "sia a>1" si dà l'impressione che questo sia un enunciato indipendente, mentre invece in realtà è solo una protasi impropria, che di per sé da sola non ha alcun senso e che soltanto insieme con l'enunciato improprio dedotto, "allora a+1>2", produce un tutto dotato di senso". E poi prosegue, per dimostrare con vari passaggi formali che l'assioma a>1 era una premessa solo apparente. Ora, se sono questi i problemi della logica, allora non solo si tratta di banalità, ma abituano la mente a concepire solo stupide banalità.

Lettera di Hilbert a Frege 4 ottobre 1895

"Credo che la Sua opinione sulla natura e lo scopo del linguaggio simbolico in matematica colga proprio nel segno. In modo particolare sono d'accordo sul fatto che il linguaggio simbolico debba essere ciò che viene dopo e che debba conformarsi a un'esigenza; dalla qual cosa segue poi naturalmente che chiunque voglia creare o perfezionare un linguaggio simbolico deve prima di tutto studiare quelle esigenze. La saluto rispettosamente, con la massima stima Hilbert"

Lettera di Frege a Hilbert 27 dicembre 1899 [qualche anno dopo]

"Ho letto con interesse la Sua opera sui fondamenti della geometria, tanto più perché io stesso me ne sono occupato in passato, senza tuttavia pubblicare alcunché. Com'è naturale, tra la mia precedente ricerca incompleta e la Sua esposizione esistono concordanze, ma anche alcune differenze". Dice, poi di averne discusso con i colleghi Thomas e Gutzmer. Sottilizza, inoltre, sul fatto che "Lei usa due espressioni, "spiegazione" e "definizione", per denotare cose diverse: ma proprio questa diversità non è chiara". Nota poi che Hibert confonde tra loro "assioma" e "definizione" (B1)

"Penso che sarebbe ora che ci si intendesse una buona volta sull'essenza e sui compiti della definizione e, conformemente a ciò, sui princìpi cui attenersi nel definire (...). Attualmente mi sembra che regnino in proposito anarchia completa e arbitrio soggettivo". Poi precisa: "Attribuisco il nome di assiomi a enunciati che sono veri, ma che non vengono dimostrati perché la loro conoscenza scaturisce da una fonte conoscitiva extralogica, che possiamo chiamare intuizione spaziale. Il fatto che gli assiomi sono veri ci assicura di per sé che essi non si contraddicano fra loro, e ciò non abbisogna di alcuna ulteriore dimostrazione. Anche le definizioni non possono contraddirsi fra loro. Se ciò avviene esse sono erronee. I princìpi del definire debbono essere strutturati in modo tale che, nell'attenersi a essi, non possa comparire nessuna contraddizione".

Tutto ciò appare una specie di ordine militaresco che dovrebbe garantire la logica contro ogni espressione intelligente,  a favore, soltanto, dell'obbedienza all'ordine e alla disciplina! Non per nulla Frege pretende da Hilbert di attenersi di più alla tradizione. "Non nego che per poter dimostrare la reciproca indipendenza degli assiomi Lei si debba porre da un punto di vista più elevato, del quale la geometria euclidea appare come un caso particolare di un qualcosa più generale (B1); ma, per le ragioni addotte, non mi sembra che la via da Lei seguita a questo scopo sia percorribile" (Prima stroncatura)

"In primo luogo mi sembra sia in ogni caso necessario intenderci sul significato delle espressioni "spiegazione", "definizione", "assioma", per le quali Lei si allontana notevolmente dal significato a me familiare e del resto tradizionale (B2): per questa ragione mi diventa difficile sia distinguere una dall'altra queste espressioni nella Sua presentazione, sia riconoscere con piena chiarezza la costruzione logica" (Seconda stroncatura). (Continua)

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* In "Alle origini della nuova logica".