(Continuazione) Nel 1870 "Camille Jordan convertì Lie alla causa della geometria. All'epoca si riteneva con crescente convinzione che la geometria e la teoria dei gruppi fossero due facce della stessa medaglia, ma ci volle un bel pò di tempo prima che la connessione venisse esplicitata in modo esaustivo". Ci penseranno Lie e Klein dimostrando, nel 1872, che la geometria e la teoria dei gruppi erano la stessa cosa.
"Col senno di poi, e utilizzando la terminologia moderna, la cosa appare ovvia. Data una geometria, le si può associare il suo gruppo di simmetria, viceversa, la geometria associata a un gruppo è l'oggetto che possiede le simmetrie descritte dal gruppo stesso. In pratica, una particolare geometria è definita in base agli oggetti invarianti rispetto all'azione di un certo gruppo".
"Perché allora prendersi la briga di trasformare la geometria in teoria dei gruppi, se le due cose sono la stessa cosa? Perché in questo modo abbiamo due punti di vista differenti sotto cui studiare due settori diversi della matematica. In certi casi è più facile adottare l'approccio geometrico, in altri quello algebrico. Due visuali di un campo sono meglio di una sola".
Equazioni differenziali
"Quasi tutte le leggi fondamentali della fisica, come quelle che descrivono lo scorrere di un fluido, l'azione della gravità, il moto dei pianeti, la conduzione del calore, il moto delle onde, l'azione del magnetismo, la propagazione della luce e quella del suono, sono in realtà equazioni differenziali. Come Newton capì per primo, in generale è più semplice comprendere il comportamento degli oggetti naturali se consideriamo il modo in cui certe quantità cambiano, più che il valore preciso delle quantità stesse.
Eccoci dunque all'idea di Lie, che si chiese: esiste forse una teoria delle equazioni differenziali analoga a quella di Galois per le equazioni algebriche? C'è forse un modo per capire se una certa equazione è risolubile con un particolare metodo?
La chiave di tutto, ancora una volta, è la simmetria. Lie si rese conto che alcuni teoremi geometrici da lui ottenuti si potevano reinterpretare proprio in termini di equazioni differenziali. Nota una soluzione, era possibile applicarvi una trasformazione di un certo gruppo e dimostrare che il risultato era ancora una soluzione; da una se ne potevano ricavare molte, legate tra loro dall'azione del gruppo. In altre parole, il gruppo non era altro che l'insieme delle simmetrie di quella equazione differenziale.
Questa idea generale non poteva non condurre a scoperte di grande bellezza. Basti pensare cos'era saltato fuori quando Galois si era messo ad applicare la simmetria alle equazioni algebriche: chissà quale mondo meraviglioso sarebbe scaturito dalle assai più importanti equazioni differenziali".
"Il sogno di Lie di creare l'equivalente di una teoria di Galois per le equazioni differenziali fu realizzato solo all'inizio del Novecento con la cosiddetta teoria dei "campi differenziali". Ma la sua creatura, l'idea del gruppo di Lie, si è dimostrata molto più importante, e dotata di vaste applicazioni, di quanto lui stesso sperasse. Magari non è diventata lo strumento per capire se un'equazione differenziale possa o meno essere risolta con certi metodi, ma ha invaso quasi ogni settore della matematica. La teoria di Lie è sfuggita di mano al suo creatore ed è divenuta una vera potenza, come lui mai avrebbe immaginato.
Col senno di poi, il motivo del suo successo è ancora una volta la simmetria, un'idea profondamente radicata in ogni campo della matematica e alla base delle idee chiave della fisica. Le simmetrie sono l'espressione di regolarità nascoste nella trama del mondo, che sono il motore delle leggi fisiche. Un gruppo di simmetrie continue come quello delle rotazioni è strettamente legato alla struttura dello spazio, del tempo e della materia; inoltre porta in modo implicito a varie leggi di conservazione, come quella secondo la quale l'energia totale in un sistema chiuso non può né aumentare né diminuire. La relazione tra simmetrie e leggi di conservazione, per inciso, fu studiata da Emmy Noether, allieva di Hilbert".
Dopo questo lunghissimo estratto, passiamo alla critica: il punto da capire è quello relativo alle simmetrie come "espressione di regolarità nascoste della trama del mondo". La scienza finora è stata conoscenza di regolarità imposte dalla natura? Oppure è stata, soprattutto in fisica, ricerca di regolarità matematiche imposte alla natura? E qui sta, forse, l'errore teorico delle simmetrie: far passare per realtà naturale una illusoria, umana propensione alla simmetria, mentre la natura sembra propendere decisamente verso le asimmetrie. Le simmetrie in natura sono rarità. Questa è la tesi dell'autodidatta, suffragata dalla legge "asimmetrica" del dispendio e della eccezione statistica, che rispecchia la profonda asimmetria della natura. (Continua)
"Quasi tutte le leggi fondamentali della fisica, come quelle che descrivono lo scorrere di un fluido, l'azione della gravità, il moto dei pianeti, la conduzione del calore, il moto delle onde, l'azione del magnetismo, la propagazione della luce e quella del suono, sono in realtà equazioni differenziali. Come Newton capì per primo, in generale è più semplice comprendere il comportamento degli oggetti naturali se consideriamo il modo in cui certe quantità cambiano, più che il valore preciso delle quantità stesse.
Eccoci dunque all'idea di Lie, che si chiese: esiste forse una teoria delle equazioni differenziali analoga a quella di Galois per le equazioni algebriche? C'è forse un modo per capire se una certa equazione è risolubile con un particolare metodo?
La chiave di tutto, ancora una volta, è la simmetria. Lie si rese conto che alcuni teoremi geometrici da lui ottenuti si potevano reinterpretare proprio in termini di equazioni differenziali. Nota una soluzione, era possibile applicarvi una trasformazione di un certo gruppo e dimostrare che il risultato era ancora una soluzione; da una se ne potevano ricavare molte, legate tra loro dall'azione del gruppo. In altre parole, il gruppo non era altro che l'insieme delle simmetrie di quella equazione differenziale.
Questa idea generale non poteva non condurre a scoperte di grande bellezza. Basti pensare cos'era saltato fuori quando Galois si era messo ad applicare la simmetria alle equazioni algebriche: chissà quale mondo meraviglioso sarebbe scaturito dalle assai più importanti equazioni differenziali".
"Il sogno di Lie di creare l'equivalente di una teoria di Galois per le equazioni differenziali fu realizzato solo all'inizio del Novecento con la cosiddetta teoria dei "campi differenziali". Ma la sua creatura, l'idea del gruppo di Lie, si è dimostrata molto più importante, e dotata di vaste applicazioni, di quanto lui stesso sperasse. Magari non è diventata lo strumento per capire se un'equazione differenziale possa o meno essere risolta con certi metodi, ma ha invaso quasi ogni settore della matematica. La teoria di Lie è sfuggita di mano al suo creatore ed è divenuta una vera potenza, come lui mai avrebbe immaginato.
Col senno di poi, il motivo del suo successo è ancora una volta la simmetria, un'idea profondamente radicata in ogni campo della matematica e alla base delle idee chiave della fisica. Le simmetrie sono l'espressione di regolarità nascoste nella trama del mondo, che sono il motore delle leggi fisiche. Un gruppo di simmetrie continue come quello delle rotazioni è strettamente legato alla struttura dello spazio, del tempo e della materia; inoltre porta in modo implicito a varie leggi di conservazione, come quella secondo la quale l'energia totale in un sistema chiuso non può né aumentare né diminuire. La relazione tra simmetrie e leggi di conservazione, per inciso, fu studiata da Emmy Noether, allieva di Hilbert".
Dopo questo lunghissimo estratto, passiamo alla critica: il punto da capire è quello relativo alle simmetrie come "espressione di regolarità nascoste della trama del mondo". La scienza finora è stata conoscenza di regolarità imposte dalla natura? Oppure è stata, soprattutto in fisica, ricerca di regolarità matematiche imposte alla natura? E qui sta, forse, l'errore teorico delle simmetrie: far passare per realtà naturale una illusoria, umana propensione alla simmetria, mentre la natura sembra propendere decisamente verso le asimmetrie. Le simmetrie in natura sono rarità. Questa è la tesi dell'autodidatta, suffragata dalla legge "asimmetrica" del dispendio e della eccezione statistica, che rispecchia la profonda asimmetria della natura. (Continua)
Nessun commento:
Posta un commento