3. Che cos'è una simmetria?

(Continuazione) Seguiamo ancora Stewart: "Finora il collegamento tra gruppi e simmetrie è stato in un certo senso metaforico. Ora dobbiamo renderlo più esplicito, grazie a un punto di vista geometrico". "Per farci un'idea di come stanno le cose, daremo un'occhiata al mio gruppo favorito: quello delle simmetrie di un triangolo equilatero. E affronteremo finalmente la questione di fondo: che cos'è di preciso una simmetria?"

"Prima di Galois, le risposte a questa domanda erano vaghe e imprecise". "Dopo Galois... la risposta divenne semplice e univoca. Innanzi tutto non si parlò più "della" simmetria, ma di "una" simmetria. Gli oggetti non possiedono questa generica proprietà: hanno, o non hanno, una o più simmetrie specifiche. E "una simmetria è una trasformazione che conserva la struttura di un oggetto, ... è un processo, un'azione, non una cosa. Le simmetrie di Galois sono permutazioni (...), cioè modi per risistemare gli oggetti. Strettamente parlando, non sono le disposizioni in sé, ma le regole applicate per la disposizione: non il piatto, ma la ricetta".

"Le tre parole chiave nella definizione di simmetria sono "trasformazione", "struttura" e "conservazione"." Per spiegarle, Stewart si  serve di una triangolo equilatero. Esempio: "l'azione di "ruotare di 120° è una simmetria del triangolo equilatero: una trasformazione (rotazione) che preserva la struttura (forma e posizione dell'oggetto)". Insomma, la simmetria in sé è facile a comprendersi, ma a che cosa  possa servire nel mondo reale: questo  è il problema.

"La simmetria banale si dice identità"! Quelle più complesse riguardano il ""cambiar posto" in spazi più complicati. In un generico spazio a più dimensioni, una delle principali caratteristiche richieste è l'esistenza delle linee rette; le trasformazioni naturali in questi spazi sono quelle che le lasciano dritte, senza piegarle o torcerle, come ad esempio le rotazioni, le riflessioni e i cambiamenti di scala: queste si dicono trasformazioni lineari".

Il matematico inglese Cayley "scoprì che tali applicazioni si potevano rappresentare con una matrice, una particolare tabella di numeri che si può trattare come un oggetto algebrico. Una trasformazione lineare in uno spazio a tre dimensioni, ad esempio, si può descrivere completamente con una matrice 3x3 (con 3 righe e 3 colonne) di numeri reali. Il calcolo delle azioni, quindi, si riduce a calcolo algebrico sulle matrici".

Nell'esempio del triangolo equilatero, si osservano 6 simmetrie, corrispondenti ad altrettante permutazioni. "Tra le sei simmetrie e le sei permutazioni c'è una corrispondenza naturale, e lo stesso si può dire per tutti i loro prodotti. Ma le rotazioni e le riflessioni nel piano sono trasformazioni lineari: dunque abbiamo interpretato ("rappresentato") il gruppo delle permutazioni come un gruppo di applicazioni lineari o, in modo equivalente, di matrici. Questa idea avrà importanti conseguenze in matematica e in fisica".

In conclusione, per ora, la simmetria è una semplice operazione geometrica tradotta in operazione algebrica mediante matrici. In altre parole è sostanzialmente un prodotto coerente della matematica pura, astratta. Per terminare queste pagine, vale la pena di citare il seguente passo:

"Dopo Galois, la simmetria non era più una vaga impressione di regolarità o un elemento estetico, misura di bellezza ed eleganza, ma un concetto matematico rigorosamente definito con una sua logica stringente. Con le simmetrie si potevano fare calcoli e dimostrare teoremi; nel frattempo era nata anche una nuova disciplina, la teoria dei gruppi. La secolare attrazione dell'umanità per la simmetria era a un punto di svolta, che richiedeva però la disponbilità a pensare in modo più astratto. Il concetto di gruppo era decisamente rarefatto, molto distante dalla tradizionale materia prima di cui si nutriva la matematica, cioè i numeri e le forme geometriche".

Per una prima conclusione, si può osservare che con il concetto di gruppo si passa a forme matematiche astratte che perdono sempre più contatto con la realtà, della quale numeri e forme geometriche apparivano concrete astrazioni. In questo modo non solo la matematica si allontanava dalla realtà naturale, ma era lo stesso concetto di simmetria a capovolgerla completamente. La ragione è la "secolare attrazione dell'umanità per le simmetrie", una ragione soggettiva, la quale, alle sgradevoli, asimmetriche, manifestazioni della realtà, ha sempre contrapposto le proprie gradevoli, simmetriche, sublimazioni. (Continua)